الباحثون المغاربة

مجسمات ثلاتية الابعاد بالرياضيات

رياضيات ، صور
تعليق
ghanfari

<div dir="rtl" style="text-align: right;" trbidi="on">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://scontent-ams3-1.xx.fbcdn.net/hphotos-xpt1/v/t1.0-9/10898240_981637398532069_409621234322329137_n.jpg?oh=913d10212d71a01e73e6de0748847049&oe=5630FCCB" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="530" src="https://scontent-ams3-1.xx.fbcdn.net/hphotos-xpt1/v/t1.0-9/10898240_981637398532069_409621234322329137_n.jpg?oh=913d10212d71a01e73e6de0748847049&oe=5630FCCB" width="640" /></a></div>
عالم
 فيزياء اسمه Tom Beddard سكوتلاندي من جامعة St Andrews، باستخدام 
الرياضيات قام بخلق مجسمات رقمية ثلاثية الأبعاد متناهية الدقة لا تنتهي 
أبدا من التشكل تظهر جمالا وإبداعا ليس لهما مثيل. سمى هذا الأشكال بFabergé Fractals. 
 
المصدر: <a href="http://vimeo.com/18842873" target="_blank">هنا </a></div>

فن طي الورق و الرياضيات

رياضيات
تعليق
ghanfari

<div dir="rtl" style="text-align: right;" trbidi="on">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://scontent-ams3-1.xx.fbcdn.net/hphotos-xap1/v/t1.0-9/s720x720/10253885_1008543992508076_2945468519878679891_n.jpg?oh=b411e11c37cab8cfacf38d1c9dbddd0f&oe=55ED0D88" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="464" src="https://scontent-ams3-1.xx.fbcdn.net/hphotos-xap1/v/t1.0-9/s720x720/10253885_1008543992508076_2945468519878679891_n.jpg?oh=b411e11c37cab8cfacf38d1c9dbddd0f&oe=55ED0D88" width="640" /></a></div>
إذا كان فن طي الورق يعود إلى قرون، فإن دراسته حديثة و تكشف عن صلات وثيقة بالجبر و نظرية الأعداد أو الخورزميات. 
 "الأوريغامي" L'origami هو فن طي الورق لإنجاز "مجسمات"، إما هندسية، مثل 
علبة أو متعدد الأوجه، أو مجازية كحيوان، زهرة، شخص، ... . في فن 
الأوريغامي الخالص، ننطلق من ورقة مربعة، و يسمح فقط بطيات مستقيمية دون 
استعمال المقص. في أشكال أخرى من فن الورق (origami modulaire) يكون مقبولا
 استخدام أكثر من ورقة لبناء مجسم واحد، 
تقطع الأوراق و يتم الربط بينها، يسمح أيضا بترطيب الورقة لتثبيت الشكل، أو
 استخدام أدوات لرسم طيات مدورة. الأوريغامي كفن للطيّ دون قطع أو
 ربط من ورقة مربعة، ولد في اليابان في القرن السابع عشر، وانتشر في جميع 
أنحاء العالم في القرن التاسع عشر. و يصعب تحديد تريخه الأكثر قدما لأن 
الأعمال لا تنحفظ بشكل جيد. لكن بعض ألعاب الطي كانت موجودة بالتأكيد في 
الصين و إيطاليا و ألمانيا و إسبانيا قبل النجاح العالمي لهذه الهواية 
الممتعة و الخلاّقة. بدأت الدراسة الرياضية للأوريغامي سنة 1907 و
 قد شهدت تقدما كبيرا منذ 30 عاما، مما جعلها غنية أكثر. وقد أظهرت نتائج 
ملحوظة مكنت بالخصوص من معرفة الأعداد "المبنية من طرف المجسم". هذه 
الأعداد مشابهة للأعداد "المبنية للمسطرة و البركار" و التي مكنت في القرن 
التاسع عشر من حل مشكلة تربيع الدائرة ( le problème de la quadrature du 
cercle ). منذ عام 1989، تم احداث مؤتمر دولي مخصص للجوانب الرياضية 
للأوريغامي و استخداماتها في التدريس. انعقدت النسخة السادسة من هذا 
المؤتمر في غشت 2014 في طوكيو. النظريات القليلة التي قدمنا تمثل 
قاعدة لنوع من المعرفة يبدو أنه يمتد ليلعب دورا مهما في مجال حيوي 
كالبيولوجيا ( علم الأحياء ) حيث يمثل طيّ البروتينات مشكلة جوهرية، و هو 
دور أهم من ذلك الذي لعبه في مجال التكنولوجيات الحديثة حيث يتم إعادة 
تصميم هياكل. و ربما يمتد للمجال المجهري، و الذي يتطلب أكثر من أي وقت مضى
 فهم أكثر دقة لعمليات الانحناءات و الطيّ. أساسيات الطيّ :   
نبدأ بالتركيز على الأوريغامي الخالص الذي، يبدأ بورقة مربعة، و ينص على 
استخدام طيات مستقيمية بهدف الوصول إلى مجسم مسطح. في فرنسا، أشهر هذه 
المجسمات هي " القِدر الورقي " ( la cocotte en papier ). في اليابان، 
المجسم الأكثر شهرة هو "الرافعة"، أكثر أناقة و لكن أكثر صعوبة أيضا. 
 خذ ورقة و قم بانجاز "القِدر". عندما تنهي مجسمك، افتح الورقة و خذ بعين 
الاعتبار الرسوم التي سطرتها الطيّات ( فقط تلك التي تفضي إلى الشكل 
النهائي ) و لونها بالأحمر و الأزرق : خصص الأحمر للطيات ... 
 
المصدر: <a href="http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/article-les-mathematiques-de-l-apos-origami-33735.php" target="_blank">هنا</a> 
 
 </div>

كيف تعمل الرياضيات ؟!

رياضيات
تعليق
ghanfari

<div dir="rtl" style="text-align: right;" trbidi="on">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://scontent-ams.xx.fbcdn.net/hphotos-xap1/v/t1.0-9/10959588_1033732529989222_9194597692947703199_n.jpg?oh=fb6271a43b82def18efa42b53a838c22&oe=5606AB7A" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="640" src="https://scontent-ams.xx.fbcdn.net/hphotos-xap1/v/t1.0-9/10959588_1033732529989222_9194597692947703199_n.jpg?oh=fb6271a43b82def18efa42b53a838c22&oe=5606AB7A" width="640" /></a></div>
من
 السهل التفكير في الرياضيات كنوع من القصص السحرية القصيرة، إنها لغة سرية
 و قوية يتقنها القليل منا و يقوم عليها نسيج الكون كما يتقنها بعض الوكلاء
 اللاّإنسانيون ( مثل الالة الحاسبة ). حتى لو كنا نتجنب مثل هذا اللغو، 
فالحقيقة هي أن كثير منا أميّون رياضيا في عالم يعتمد على الرياضيات. متى كانت آخر مرة قمت فيها بالتلاعب ببعض الأرقام مستعملا قلم و ورقة فقط ؟ في كتابه "هندسة الجنة"،
 وصف مارك باترسون (Mark A. Peterson) ثقافة شعوب اوروبا في القرون الوسطى 
بأنها غير رياضية تتحكم فيها رياضيات متطورة. أكيد أن علماء الرياضيات في 
ذلك العصر شحذوا مهاراتهم و لكن في الغالب بدافع حبهم للتجريدات الرياضية. 
لقد صاحبتها تطبيقات عملية قليلة، يقول باترسون، غير مدرك بالفعل ما هي 
الرياضيات. اليوم، مجال الرياضيات أكثر حيوية مما كان عليه في 
العصور الوسطى، لكنه لا يزال غير مكتشف من عدد هائل ممن يعتمدون عليه. لقد 
وجدت الرياضيات المعاصرة طريقة لإثبات نفسها سواء من خلال الآلات الحاسبة 
أو من خلال ارتباطها بتسريع عمليات البحث في "Google". ورغم ذلك فهي 
تظل مصدر قلق بالنسبة للكثيرين، قلق مصدره تعليم غير مناسب و لا يحاول 
تحفيز هذه الفئة القلقة بربط الرياضيات بالتطبيق العملي. عامل الفصول 
الدراسية المكتظة يجعلنا لا نستغرب فشل الطلاب في في فهم جوهر المنطق 
الرياضي. لذلك % 40 فقط من طلاب السنة الرابعة و % 34 من طلاب السنة 
الثامنة في الولايات المتحدة متفوقون في مادة الرياضيات، حسب آرني دنكان 
(Arne Duncan)، وزير التعليم في الولايات المتحدة خلال حديثه في المجلس 
الوطني لمعلمي الرياضيات في أبريل 2011. آثار و تداعيات الأمية 
الرياضية واضحة جدا. في عام 2005، حددت الأكاديميات الوطنية بالولايات 
المتحدة تراجع البلاد في تعليم الرياضيات كعامل تأثير شديد الضرر على 
طاقاتها العلمية و التكنولوجية والاقتصادية. لذلك دعونا نزيل الغموض عن عالم الرياضيات. لا يمكننا تصور عالم بدون رياضيات. إنها جزء من هويتنا. 
 انها عصير تفكير دماغنا الأيسر، و على حد تعبير عالم الفيزياء الكبير 
الراحل ريتشارد فاينمان (Richard Feynman)، "يمكن حتى لمعتوه استخدامها". 
مقتبس من كتابه "متعة اكتشاف الأشياء". ترجمة: Aziz Amrar تعديل الصورة: Achraf Bartya 
المصدر: <a href="http://science.howstuffworks.com/math-concepts/math.htm" target="_blank">هنا </a></div>

يوم pi و عيد ميلاد اينشتاين

رياضيات
تعليق
ghanfari

<div dir="rtl" style="text-align: right;" trbidi="on">
 
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://scontent-iad.xx.fbcdn.net/hphotos-xfp1/v/l/t1.0-9/11050743_1085721014790373_4601710708038170142_n.png?oh=104b6c62cce44d2125cc715dbf1083c7&oe=55E6171F" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="640" src="https://scontent-iad.xx.fbcdn.net/hphotos-xfp1/v/l/t1.0-9/11050743_1085721014790373_4601710708038170142_n.png?oh=104b6c62cce44d2125cc715dbf1083c7&oe=55E6171F" width="640" /></a></div>
 
يصادف اليوم 3/14 , يوم 14 من مارس من كل سنه .. يوم Pi وهو الرقم الذي يمثل النسبه بين محيط الدائره وقطرها وهو من الأعداد غير النسبيه أي التي لايمكن تمثيلها على صوره كسر إعتيادي وبذلك يمثل بصوره عشريه بأرقام لاتنتهي ، والمميز أيضاً في هذا اليوم أنه يقع في سنه Pi أيضاً وهي السنه الـ15 من كلقرن أي أن هذا اليوم لن يتكرر الا سنه 2115م وأيضا لأنه ستحقق فيه ثانيه Pi والتي ستحقق في 9:26:53am وأيضا 9:26:53pm وأيضا ستحقق لحظه Pi والتي ستحدث في مده قصيره جداً من الزمن بعد 9:26:53.58979am وقبل 9:26:53.5898am وبذلك يحقق هذا اليوم أول عشر أرقام من عدد Pi . ................ كما ولد الفيزيائي أينشتاين في يوم Pi من سنه 1879م . ............... ليس معروفاً بالضبط من اكتشف عدد Pi ، لكن محيط الهرم الأكبر الذي بني في 2500 قبل الميلاد يساوي 1760 ذراع وارتفاعه يساوي 280 ذراع وهي نسبه تساوي حوالي ضعف Pi وهذا لايبدو كمصادفه لكن حيث أننا لانستطيع سؤال المصريين القدماء فلا أحد متأكد فعلاً من صحه اكتشافهم له ، لكن أرشميدس هو أول من قام بحساب تقدير دقيق لـPi سنه 250 قبل الميلاد . ............. الفيزيائي Larry Shaw هو أول من بدأ تقاليد الإحتفال بيوم Pi وهي عباره عن المشي في دوائر أثناء أكل فطيره (Pie) فواكه وصدق الكونجرس الأمريكي في 2009م على يوم Pie كيوم للإحتفال بتعليم الرياضيات ، وهناك احتفالات كثيره في معظم دول العالم بعضها يتضمن أكل الفطائر والآخري حفظ أرقام من Pi . ............. Chao Lu يحمل لقب موسوعه جينيس للمعرفه بـPi ، حيث يستطيع سرد أول 67,890 رقم من Pi . ............ تم حساب حوالي 12.1 تريليون رقم من Pi قبل عامين بواسطه Alexander J. Yee & Shigeru Kondo وتم ذلك بإستخدام كومبيوتر خارق الذي لم يستطع الكمبيوتر الإكمال بسبب انتهاء مساحه التخزين . 
 
المصدر : ويكيبيديا 
اعداد: yonas light </div>

مفارقة زينون Zeno's paradoxes

رياضيات
تعليق
ghanfari

<div dir="rtl" style="text-align: right;" trbidi="on">
«يحكى في سالف الزمان أن أخيل (1) Achilles صادف سلحفاة على الطريق، 
فدعته هذه السلحفاة للتسابق، وجد أخيل في ذلك مدعاة للتسلية فوافق على ذلك. 
لكن السلحفاة استأذنته بأن تكون البادئة في الانطلاق متعللة بأنها أبطأ 
كثيرا منه. وافق أخيل على ذلك على أساس أنه أسرع منها و لا شك سيكون هو 
الفائز، وانطلقت السلحفاة بادئة السباق. وبعد برهة من الزمن صرفها أخيل في 
ربط أحد شريطي حذائه، انطلق هذا البطل من خط البداية لاحقا بالسلحفاة. 
وكانت سرعة أخيل 1متر في الثانية بينما سرعة السلحفاة هي 0.5 متر في الثانية. 


 
<div style="text-align: center;">
<img alt="akhil" class="size-full wp-image-988 aligncenter" height="355" src="http://naja7math.com/blog/walo/uploads/2013/12/akhil1.png" width="400" /> 
فى بداية السباق كانت السلحفاة تسبق أخيل بمتر كامل. 
ابتدأ أخيل والسلحفاة العدو في نفس اللحظة. وهنا يطرح زينون سؤالا يبدو بديهي الجواب، هل سيتخطى أخيل السلحفاة؟ 
و الإجابة التي يعرفها كل إنسان هي طبعا نعم، فأخيل أسرع من السلحفاة. صحيح
 انه ابتدأ من نقطة تتأخرعن السلحفاة بمتر كامل لكن فارق السرعة لصالحه ما 
من شأنه أن يعوض هذا التأخر لاحقا. لكن زينون اثبت انه على الجانب الآخر 
فانه من المستحيل ان يلحق أخيل بالسلحفاة ناهيك على أن يتخطاها.!! 
وهكذا كانت حجة زينون: إذا كانت المسافة بين أخيل والسلحفاة هي 1 متر في 
البداية . فكم من الوقت يحتاج أخيل حتى يصل إلى موضع السلحفاة التي يراها 
فيه في بداية السباق؟ الإجابة سهلة: حيث أن أخيل يعدو بسرعة 1 متر في 
الثانية فهو سوف يحتاج إلى ثانية كاملة. لكن في خلال هذه الثانية فان 
السلحفاة لن تبقى ثابتة ولكنها سوف تكون قد تحركت مسافة نصف متر إلى 
الأمام. إذن الآن وبعد ثانية من بداية السباق فسوف يجد أخيل أن السلحفاة ما
 زالت تسبقه بمسافة نصف متر، صحيح أن المسافة قلت عن البداية ولكنها ما 
زالت تسبقه. 
الآن كم من الزمن يحتاج أخيل حتى يصل إلى موضع السلحفاة حيث يراها؟ 
الإجابة سهلة انه سوف يحتاج إلى نصف ثانية. لكن كما سبق بعد مرور النصف 
ثانية هذه سوف يجد أن السلحفاة ما زالت تسبقه بربع متر. الآن سيقطع أخيل 
هذه المسافة في ربع ثانية ليجد السلحفاة تسبقه بثمن متر. وهكذا فسوف تستمر 
هذه العملية إلى اللانهاية، حيث سيبقى يلزم أخيل في كل مرة نصف الوقت الذي 
قطعه سابقا ليصل للموضع الجديد للسلحفاة، و هكذا ستظل السلحفاة هي السباقة 
مهما صغرت المسافة بينها و بين أخيل»<img alt="tortue_akhil" class="aligncenter size-full wp-image-990" height="285" src="http://naja7math.com/blog/walo/uploads/2013/12/tortue_akhil.png" width="400" /></div>



كانت هذه ملخصا لمسألة فلسفية صممها الفيلسوف زينون تدعى “مفارقة أخيل 
والسلحفاة ” مع أحاج أخرى ليدعم بها نظريات أستاذه پارمينيدس الفلسفية التي
 كان معظم فلاسفة الإغريق يسخرون منها باعتبارها تناقض الواقع القائم 
متعللين بكثير من المفارقات تأيد أفكارهم و تعارض أفكار پارمينيدس، فكانت 
هذه المفارقة تستهدف الدفاع عن هذه الأفكار و وضع الفلاسفة الآخرين موضع 
الارتباك و أن يضربهم في مقتل وأن يزعزع ثقتهم المغرورة في انفسهم وفي 
فلسفتهم ويوضح لهم ان منهج بارميندس ليس سخيفا أو اقل حكمة من أفكارهم بل 
افضل منها جميعا، حتى أنه لم يكن همه أن يجد لها حلا. 
لقد كانت هذه النتيجة صدمة بالنسبة للإغريق. فقد كان البرهان في حد ذاته 
صحيحا ومنطقيا حسب علم الإغريق ولكنهم كانوا مع ذلك يعلمون أن هذه النتيجة 
مستحيلة. 
إذن أين يكمن الخطأ ؟ أتكمن في فلسفتهم كلها التي كانوا يعتقدون أنها في غاية المنطقية و الحكمة؟! 
كانت مفارقة زينون مرعبة ومدمرة. بقت هذه المفارقة قائمة عبر ألفي سنة 
تقريبا ولم يستطع احد حلها بشكل سليم ومُرضٍ. ولكن رياضيات اليوم وجدت حلا 
لهذه المشكلة. فمشكلة الإغريق كانت تكمن في انهم لم يعرفوا 3 مفاهيم أساسية
 نعرفها نحن اليوم. هذه المفاهيم هي العددين صفر واللانهاية بالإضافة إلى 
حساب النهايات. 
سنحاول في هذا المقال تقريب هذا الحل باستعمال مفهوم المتتاليات، و سيتم 
التطرق لمفهوم النهاية في موضوع مستقل لأن هذا المفهوم استغرق عقودا من 
الزمن حتى تمكن علماء الرياضيات من تكوين الأدوات الرياضية للتعبير عنه . 

إذا تفحصنا المسألة جيدا سنجد أن أخيل سيحتاج إلى <img alt="1" class="ql-img-inline-formula " height="16" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-88a5ffa148002fbff3787c28c55c63e0_l3.png" style="vertical-align: -1px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="8" /> ثانية في المرة الأولى ليصل للسلحفاة ثم إلى <img alt="\frac{1}{2}" class="ql-img-inline-formula " height="26" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-08067f31cf34fad04cd25e10b5148b8a_l3.png" style="vertical-align: -7px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="9" /> ثانية ثم <img alt="\frac{1}{4}" class="ql-img-inline-formula " height="26" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-d7015dd7d3cee570d976796f05c877ea_l3.png" style="vertical-align: -7px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="9" /> ثانية ثم <img alt="\frac{1}{8}" class="ql-img-inline-formula " height="26" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-adcb952d56ad8ccffbcfc1877120224c_l3.png" style="vertical-align: -7px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="9" />  ثانية ، ثم <img alt="\frac{1}{16}" class="ql-img-inline-formula " height="27" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-4d48e265eb57ad159afa806dfe73c4b0_l3.png" style="vertical-align: -8px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="17" /> ثانية ثم… 

فإذا رمزنا ب : <img alt="t_n" class="ql-img-inline-formula " height="16" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-6f7ce2532642d8b3f2274e57d41065c7_l3.png" style="vertical-align: -3px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="18" /> للوقت الذي يلزمه ليلحق بالسلحفاة في المرة n، فإننا نجد: 

<img alt="t_1=1" class="ql-img-inline-formula " height="19" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-f16dc8ee31ffe2a0a2f65fb2d9d61e35_l3.png" style="vertical-align: -4px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="54" /> 

و <img alt="t_2=1+\frac{1}{2}" class="ql-img-inline-formula " height="26" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-2c5ec94c3daab2e4afb520c0bd5bb167_l3.png" style="vertical-align: -7px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="92" /> 

و <img alt="t_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}" class="ql-img-inline-formula " height="27" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-de25d93b8a8302e56b30248192a71938_l3.png" style="vertical-align: -8px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="139" /> 

و <img alt="t_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}" class="ql-img-inline-formula " height="27" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-fbd9b26f9d9bc5f00607eea3094d27b9_l3.png" style="vertical-align: -8px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="185" /> 

و <img alt="t_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n-1}}" class="ql-img-inline-formula " height="27" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-41deb69cf5747e86a858eb06d68a79c2_l3.png" style="vertical-align: -8px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="297" /> 



كان فلاسفة الإغريق في حدود معرفتهم يفترضون أن مجموعا غير منته من حدود أعداد سيكون عددا غير منته أيضا، فهل هذا صحيح ؟ 

في معظم الحلات هذا الأمر صحيح، لكنه ليس كذلك في حالتنا هته، كيف ذلك؟ كيف يعقل أن يكون مجموع لا نهاية له من الحدود عددا منتهيا؟ 

نحتاج لإثبات الأمر لوسائل رياضياتية، سنحاول تبسيطها قدر المستطاع. 

من أجل ذلك سنحاول إيجاد صيغة أخرى للتعبير السابق : <img alt="t_n" class="ql-img-inline-formula " height="16" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-6f7ce2532642d8b3f2274e57d41065c7_l3.png" style="vertical-align: -3px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="18" /> 

لدينا:<img alt="\frac{1}{2}t_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}" class="ql-img-inline-formula " height="27" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-2c91cbcbffc3a6773a3d12b1c3decb48_l3.png" style="vertical-align: -8px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="320" /> 

أي: <img alt="\frac{1}{2}t_n=t_n-1+\frac{1}{2^n}" class="ql-img-inline-formula " height="26" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-7cefdce9d3c7b78141743a1bc114b71e_l3.png" style="vertical-align: -7px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="159" /> 

أي: <img alt="\frac{1}{2}t_n-t_n=\frac{1}{2^n}-1" class="ql-img-inline-formula " height="26" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-2d4dabd0b690a36abd95791c0798069a_l3.png" style="vertical-align: -7px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="159" /> 

أي: <img alt="-\frac{1}{2}t_n=\frac{1}{2^n}-1" class="ql-img-inline-formula " height="26" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-e125a2d23edf349075229ab9d4d1355a_l3.png" style="vertical-align: -7px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="132" /> 

أي : <img alt="\frac{1}{2}t_n=1-\frac{1}{2^n}" class="ql-img-inline-formula " height="26" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-bd57fc3ea122338fd2391c86486761e7_l3.png" style="vertical-align: -7px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="115" /> 

أي: <img alt="t_n=2-\frac{2}{2^n}" class="ql-img-inline-formula " height="26" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-8ab977e1050787d3f387eefd8e05d211_l3.png" style="vertical-align: -7px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="104" /> 

أي: <img alt="t_n=2-\left({\frac{1}{2}}\right)^{n-1}" class="ql-img-inline-formula " height="31" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-6f393aaf02b81ac0bef2853fc72f115e_l3.png" style="vertical-align: -8px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="145" /> 

كلما قمنا بتكبير العدد <img alt="n" class="ql-img-inline-formula " height="9" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-27f99cd6bfdb8b8f42219a1bc0a09dfc_l3.png" style="vertical-align: 0px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="12" /> (أي عدد مرات محاولة لحاق أخيل بالسلحفاة) كلما كبر التعبير <img alt="2^{n-1}" class="ql-img-inline-formula " height="19" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-4631f2fb4fea607f8fe6008d6cc94eb2_l3.png" style="vertical-align: 0px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="40" /> و بذلك يصغر التعبير <img alt="\left({\frac{1}{2}}\right)^{n-1}" class="ql-img-inline-formula " height="31" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-b01dc5ce34b95a50c010ffa2a634d8b1_l3.png" style="vertical-align: -8px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="59" /> ليصل إلى قيم قريبة جدا من الصفر، ما نصطلح عليه في الرياضيات أن نهاية هذا التعبير في زائد لانهاية هو الصفر، ما يعني أن المجموع <img alt="t-n" class="ql-img-inline-formula " height="13" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-c9a1bdc0ea367b5aac38b40dc06f7bfe_l3.png" style="vertical-align: 0px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="45" /> سيقترب من العدد 2 كلما كبر ، ما يعني أن تجميع الحدود غير المنهية سيعطي في النهاية العدد 2. 

على الرغم من أن هذا الحل المقترح يبين إمكانية تجاوز أخيل للسلحفاة ، 
لكنه في نفس الوقت يطرح مشكلا آخر، فلكي يتحقق هذا الأمر يجب أن تتكرر 
محاولات أخيل تكرارا غير منته!!! فأين يكمن الخلل؟ 

إن الخلل يكمن في افتراضنا أننا نستطيع تجزئيء الحركة لعدد معدود و بذلك
 نفترض أن الوقت يمكن إيجاد تقابل بينه و بين مجموعة الأعداد الصحيحة 
الطبيعية، لكننا نعلم من الناحية الرياضياتية و الفيزيائية أن ذلك أمر غير 
صحيح فالوقت يمثل البعد الرابع في دراستنا للحركة شأنه شأن محاور الأفاصيل و
 الأراتيب و الأناسيب التي نربط كلا منها بمجموعة الأعداد الحقيقية التي لا
 يمكن الفصل بين عناصرها و لا كتابتها بتفصيل، كل هذا سيحيلنا إلى مفهوم 
الاتصال. 

فالحركة تتسم بهذه الصفة فلا يمكننا أن ندرس لحظتين مهملين كل اللحظات 
التي تفصلهما، كل هذا أدى بالفيزيائيين و الرياضياتيين إلى تعريف لسرعة 
تحرك جسم أحدث ثورة في تقدم العلوم : <img alt="\overrightarrow {V_{\left( {t = t_0 } \right)} } = \mathop {\ell im}\limits_{t \to t_0 } \frac{{\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OM_0 } }}{{t - t_0 }}" class="ql-img-inline-formula " height="42" src="http://naja7math.com/blog/naja7cache/quicklatex.com-e5fc3523f2d816b68e5e47237715b0ee_l3.png" style="vertical-align: -15px;" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="208" /> 

هذا التعريف كان نتاجا لحل مثل هذه المفارقات التي أدت إلى ظهور مفاهيم 
في الرياضيات كالنهاية و مفهوم اللانهاية و مفهوم الاتصال ثم الاشتقاق ثم 
التكامل، هذه المفاهيم التي يعود لاكتشافها الفضل كل الفضل (بعد الله 
سبحانه و تعالى) في ما وصل إليه العلم الحديث من نتائج باهرة، و لا زال 
البحث مستمرا لحل ألغاز و مفارقات يبدو فك رموزها في الوقت الراهن ضربا من 
الخيال. 

(1) آخيل بطل يوناني اشتهر في حرب طروادة، و جاء ذكره في إلياذة هوميروس 

بتصرف عن موقع “مجلة العلوم : http://www.oloommagazine.com” و موقع “روائع العلوم : http://eltawil.org/sciencewonders/”</div>

مجسمات ثلاتية الابعاد بالرياضيات

فن طي الورق و الرياضيات

كيف تعمل الرياضيات ؟!

يوم pi و عيد ميلاد اينشتاين

مفارقة زينون Zeno's paradoxes

المشاركات الشائعة

المواضيع النشطة